在世界数学难题中，最著名的当属7个千禧问题了。这是一系列的问题，解决其中任何一个都可以获得100万美元。黎曼假设是最容易表述的，所以有很多关于它的文章。庞加莱猜想是迄今为止唯一一个被解决的，因此也有许多关于它的文章。

这篇文章将要讨论的问题叫做霍奇猜想（Hodge Conjecture）。这是一个代数几何的问题。本文尝试为一般的数学读者提供这个猜想的概述。

拓扑

拓扑学基本上是研究如何使物体变形的。首先，我们设一个空间X是一个球面（二维的）。

如果我们从球面上的任何一个环（比如黑色的那个）开始，我们可以将它滑动到一个点（黑点）。当我们可以这样做的时候，我们把这个环称为“等于0”，因为这个环可以变为一个点。

对于这个球面上的任何一个环，我们都可以将它滑到一个点，所以这个变形等价的环的集合为0。我们用下式表示这种情况

需要注意的一件重要的事情是，开始的环并不一定是一个“平滑的循环”。它可以是任意的形状，只要它是一个闭环即可。下标1表示研究的环是一维的（在二维平面中）。

让我们增加一点难度，看看环面（也是二维的）。

上图中红色的环可以变形到环面上的一点。但是黑色的环（上图波状黑圈）则不能缩到一个点上，它最多可以变成上图光滑的黑圈。

任何环绕中心孔的闭环都可以缩小到中间的环上（上图红色圈）。严格地证明并不容易，因为我还没有给出真正的定义，但是如果你仔细想想，你应该能够说服自己，环面只有以上这三种情况。

所以，唯一的非零元素是由这两个环产生的。在本例中（环面），我们用下式表示：

它是第一个同调群。如果一个环是[A]，另一个环是[B]，我们可以用有理数作为系数对它们求和，如：

如果我们称这些一维的环为1环，那么我们就称k维的对应环为k-环。准确地定义它们有点奇怪，因为我们仍然希望在更高的维度中有“成为一个环”的概念。

为了感受一下，你可以想象一个3d球体：

如果你有一些二维的小块在里面，你总是可以把它缩小到一个点。从图上很难分辨，但你应该注意到这是在三维球体的内部。在之前的例子中，我们必须在二维球面上。

k-环的情况用下式表示：

由于所有的1-环都会缩到球面上的一点，因此：

所有的2-环也会缩到一点，因此：

在某种意义上，H的维数k将告诉你在空间X中有多少个（n-k）维孔，其中n是X的维数。H_1是二维的，因为它有两个“孔”，一个绕着环面的“管”，另一个绕着中心孔。

几何

几何可以表示很多不同的东西，但在本文中，我们用的是“代数几何”。如果你学过线性代数，你应该对这个概念很熟悉。线性代数研究的是线性方程组的零集。你会得到非常简单的东西，比如平面和子空间。

回想一下，线性代数中的技巧包括在思考“图像”（比如零空间、值域空间、平面的交点）和实际计算的“代数”之间来回转换。

线性代数在某种意义上是“完全解决了”，但如果你让你的方程中有不同指数，那它们就是多项式。这就是代数几何：在多项式零集的几何和处理这些方程的代数运算之间进行转换。

在本文中，一个光滑代数簇（简化为“簇”）是一个几何空间X，由多项式的零集给出，得到的空间是"光滑的"，就像你们在微积分中学到的那样。

二维球面由二次方程给出。圆环面是由三次方程给出的椭圆曲线。希望你们理解了这个奇怪的术语。椭圆曲线是一个二维环面。

因为我们处理的是复数，所以“实”维数总是偶数。如果你考虑复平面，它看起来像：

但它只是?。代数几何学家用复维来称呼事物，所以一维曲线有2个实维，而二维曲面有4个实维。